Portfolio Visualizer 裡面的蒙地卡羅模擬有個名為Forecasted Returns的模型，這是一個利用預期未來報酬來規畫退休金計畫的方式，雖然要準確預測未來報酬不是一件容易的事，但是我們可以透過這個模型了解蒙地卡羅模擬結果，是如何受假設未來資產報酬、標準差、相關性的影響，更加了解假設與退休金計畫的關係，今天讓我們來閱讀Wade D. Pfau在2011年發表的一篇文章Capital Market Expectations, Asset Allocation, and Safe Withdrawal Rates，讓我們了解預測未來的報酬與標準差，如何影響蒙地卡羅模擬的失敗機率？
首先我們假設一位退休人士，以30年退休期間為目標，投資組合的資產配置有三項，使用股票為美國標普五百，債券為美國政府中期公債，現金部分為美國國庫券，年初從投資組合依據提領率的比例從投資組合中提領，初始提領率為4%，年底時將投資組合重新再平衡，每年隨通膨調整提領率，投資組合用完即表示本次模擬提領過程失敗。
本文使用蒙地卡羅模擬方式，使用對數正態分布執行，必須輸入各項資產的報酬率、標準差與相關係數，每種資產假設都會模擬一萬次，觀察投資組合的失敗機率。
一開始我們先使用歷史數據，統計1926年至2010年的各項資產的報酬率報酬率、標準差與相關係數結果如下：
之後我們再把這些資料利用標準的均值-方差優化方法(standard mean-variance optimization methods)生成100個效率前緣上的點，這100個點是由標普五百、美國政府中期公債、美國國庫券依照各種比例所組成，隨機摘錄這100個點的其中11個，結果如下：
從上表可以得到11種投資組合，每種投資組合都有各自的報酬率與標準差，我們將這100個點，也就是100種投資組合連成紅色的線，放在橫軸為投資組合整體標準差，縱軸為投資組合整體報酬率的圖，結果如下：
除了紅色線以外，還有其他9條線，上面標示了1、5、10、20、30、40、50、60、70，這個數字表示的是以4%為初始提領率，並且投資組合為該點上報酬率與標準差，經過一萬次模擬結果的失敗機率，1表示1%的失敗機率，換句話說就是99%的成功機率。
這樣就可以觀察我們所假設的預期報酬與標準差對於蒙地卡羅模擬失敗機率的影響。
舉例來說，當投資組合標準差為12%，報酬6%，這時候的模擬失敗機率約為5%，但如果投資組合標準差仍維持為12%，報酬改為4%，這時候的模擬失敗機率約為20%。
以上可以發現投資組合報酬越低，模擬失敗機率會提升。
再舉個例子，當投資組合報酬為4%，標準差7%，這時候的模擬失敗機率約為5%，但如果投資組合報酬率仍維持為4%，標準差改為11.5%，這時候的模擬失敗機率約為20%。
以上可以發現投資組合標準差越高，模擬失敗機率會提升。
另外我們可以發現這9條線的斜率不一樣的地方，當模擬失敗機率越低，斜率越陡，也就是說，我們要堅持要較低的模擬失敗機率或者較高的成功機率，當標準差有些微的增加，又或者報酬率有些微的減少，都大幅的增加模擬失敗機率，反之，如果我們容許較高的模擬失敗機率，當標準差有些微的增加，並不會大幅的增加模擬失敗機率，只有報酬率有些微的減少，才會大幅的增加模擬失敗機率。
現在我們重新看看紅色線與其他9條線的關係，紅色線在標準差9%的地方，模擬失敗機率大約5%，從這點表示某個投資組合在標準差9%，報酬率約4點多可以達到模擬失敗機率大約5%。
除此之外，我發現在相同模擬失敗機率之下，標準差越大，圖中線的斜率越陡，換句話說，標準差越大，當報酬率有所變化的時候，失敗的機率也會變化的相當敏感，所以投資組合的標準差也不宜過大，即使有高一點的報酬率，也可能不足以彌補過高的標準差，導致獲得較低的失敗機率。
心得：
- 預期的投資組合報酬越低，模擬失敗機率會提升；預期的投資組合標準差越高，模擬失敗機率會提升。
- 要堅持要較低的模擬失敗機率或者較高的成功機率，當標準差有些微的增加，又或者報酬率有些微的減少，都大幅的增加模擬失敗機率，反之，如果我們容許較高的模擬失敗機率，當標準差有些微的增加，並不會大幅的增加模擬失敗機率，只有報酬率有些微的減少，才會大幅的增加模擬失敗機率。
- 投資組合的標準差不宜過大，即使有高一點的報酬率，也可能不足以彌補過高的標準差，導致獲得較高的失敗機率。
