上回我們知道歷史模擬法有三種方式，三者的共同特色是都必須使用大量的數據才能完成長時間模擬，而且模擬的結果不會超出歷史範圍數據以外，那麼如果我們的歷史採樣數據不足，又或者想要模擬超出歷史數據的黑天鵝，那該怎麼辦？蒙地卡羅模擬提供了良好的解決方案。今天讓我們繼續來閱讀Vanguard在2006年的研究報告Financial Simulation and Investment Expectations，了解蒙地卡羅模擬是如何來模擬未來市場報酬的方法。
基本的蒙地卡羅模擬(basic Monte Carlo simulation methods)
基本的蒙地卡羅模擬法是先透過歷史報酬數據的統計，取得統計學數字，包含標準差與平均值，並假設未來報酬出現的機率是常態分布，然依據歷史報酬數據標準差與平均值的隨機模擬各種未來報酬，這樣的做法採用了以下三種假設：
- 未來的報酬率分布屬於常態分布。
- 某項資產今年與前一年或後一年的報酬率是無相關性的。
- 各項資產當年度報酬之間的相關性是固定的，例如股債比每年都維持相同的相關性。
基本蒙地卡羅模擬法與歷史模擬法的差別：
1.基本蒙地卡羅模擬法可以得到更大範圍的報酬
基本蒙地卡羅模擬法與歷史模擬法都需要仰賴歷史數據才能進行模擬，兩者的差別是歷史模擬法模擬的結果，每一年度的報酬率都是與過去一致，而基本蒙地卡羅模擬法是透過常態分佈隨機模擬未來的報酬，所以基本蒙地卡羅模擬法模擬的未來報酬不會與歷史數據一致，但出現的範圍會與歷史數據所提供的標準差與平均值相符。
也因為歷史模擬法的報酬分布範圍侷限於歷史數據之內，所以基本蒙地卡羅模擬法能夠模擬出比歷史模擬法更大的報酬率範圍，如下圖所示，褐色線表示的是基本蒙地卡羅模擬法報酬分布範圍，淺褐色區域是歷史模擬法的報酬分布範圍，褐色線能夠模擬出比淺褐色區域更差或更加的報酬。
假設我們採用1960-2002年的歷史數據，建立一個20,000美元的投資組合，並持有30年，這30年中沒有提領，該投資組合包含了40%的標準普爾500指數股票、40%的美國公司債券指數和20%的30天美國國庫券。那麼利用歷史模擬法的循環時間路徑可以得到43條路徑，利用基本蒙地卡羅模擬法獲得一萬條路徑，分別將這些路徑的年化報酬排序，可以得到下圖：
深褐色為歷史模擬法的循環時間路徑，淺褐色為基本蒙地卡羅模擬法，可以發現基本蒙地卡羅模擬法確實可以模擬出比歷史模擬法更大範圍的報酬結果，也就是更差或更佳的報酬，但就中位數附近的報酬率而言，兩種模擬法的模擬結果是相似的。
2.基本蒙地卡羅模擬法資產的前後年度報酬無相關性
因為每年的報酬率是根據常態分布隨機出現，所以今年與前一年或後一年的報酬率是無相關性的，這一點與歷史模擬法中的滾動時間路徑、循環時間路徑兩者不同，滾動時間路徑、循環時間路徑是有考慮今年與前一年或後一年的報酬率相關性。
3.基本蒙地卡羅模擬法股債資產之間年度報酬維持固定的相關性
上圖呈現了股票(標準普爾500指數)與債券(美國中期公債)在三年期間的相關性變化，褐色線表示的是歷史數據，在1960年至2002年這段期間股債之間的相關性不停的在變化，有時正相關，有時負相關，但黑色線表示的是基本蒙地卡羅模擬法，股票與債券的相關性在1960年至2002年這段期間相關性一直維持大約0.2。
因為每年報酬出現的機率是根據常態分布所表示，所以在標準差與平均值是固定的情況之下，每年的各項資產間的相關性也就固定了，例如股債比每年都維持相同的相關性，而相對的歷史模擬法採用歷史數據，所以每年各項資產間的相關性是有所不同的。
心得：基本蒙地卡羅模擬法模擬結果比歷史模擬法中循環時間路徑的模擬結果，可以獲得更差的報酬，也表示能夠模擬超出歷史數據的黑天鵝，將不會造成風險的低估，但缺點是單一資產的前後年度報酬無相關性，且個別資產的年度報酬維持固定的相關性，這樣模擬的結果有可能與真實情形差異太大。
