先前我們提到安全提領率不是永恆不變的，有逐年減少的趨勢，所以直接使用過去的歷史經驗來規劃退休金提領會有失敗的可能性，但除了使用歷史經驗以外，如果再搭配蒙地卡羅模擬，模擬出一些更具嚴苛的投資環境，來評估退休金計畫的可行性，會是更好的方法，但是使用蒙地卡羅模擬是否有它的限制，今天讓我們來閱讀Jim Otar在2008年發表的一篇文章 monte carlo simulators：are they worth the gamble？了解蒙地卡羅模擬它的限制。
利用蒙地卡羅模擬未來的資產組合的報酬，會有以下三種限制：
限制一：單一統計模型的報酬率分布與資產組合報酬分布差異很大
隨機分布的統計模型有很多種，不同的模型會有不同的分布曲線，例如均勻分布(uniform)、常態分布(normal)等，這些分布曲線表示的是不同報酬率所出現的機率。
例如均勻分布曲線，如下圖所示：
上圖橫軸為報酬率，縱軸為出現的機率，假設這個均勻分布區曲線的中心點為8%報酬率，以這為基準，報酬率範圍是-16%至+16%，那麼隨機出現報酬率為15%與5%的機率將會是一樣的。
接下來我們看看常態分布曲線，如下圖所示：
一樣橫軸為報酬率，縱軸為出現的機率，假設這個常態分布曲線的中心點為8%報酬率，以這為基準，標準差範圍是-16%至+16%，那麼隨機出現報酬率為10%的機率會比與報酬率為3%的機率更高，而8%的報酬率出現機率最高，愈接近8%的報酬率，出現的機率越高。
但是歷史數據所分布的曲線都不是上述的這兩種，而且與常態分布曲線也有很大的不同，統計的時間長度不同，得到的分布曲線也會不同，請看下圖：
上圖使用了歷史數據所繪製而成的各種報酬率出現的機率分布圖，五年後的分布圖與20年後的分布圖完全不一樣，所以想要使用單一統計模型，透過隨機分布的方式模擬符合未來資產組合報酬是困難的。
限制二：無法提供週期性的趨勢
一般的蒙地卡羅模型是隨機產出未來的投資組合報酬率，這會忽略市場報酬週期性的趨勢，讓我們先來觀察是美國股市的歷史走勢圖，如下：
短期的股市變動觀察起來是隨機的，但是長期與中期的股市變動卻不是這樣。
從1900年往2000年的方向來看，整體的長期趨勢是先盤整，上漲，下跌，盤整，上漲，盤整再上漲。
讓我們把1970年至1980年的盤整期間放大來看，中期趨勢是上漲、上漲、下跌、上漲、上漲、下跌、下跌、上漲、上漲、下跌。這是有週期循環的。
所以完全依據統計資料隨機的生成投資組合報酬率，是無法準確的模擬具有之週期性的未來投資組合報酬。
限制三：無法提供準確的報酬率出現的順序
歷史經驗告訴我們，好消息會帶來更多好消息，壞消息會帶來更多的壞消息，這使得分布曲線出現所謂的肥尾，也就是極端事件出現的機率比一般的分布曲線來要來的多，詳如下圖：
這裡作者使用了標普五百過去歷史數據所繪製的機率分布圖，看起來有四個鐘型曲線，最左邊的鐘型機率大約是4%，表達的是市場崩盤報酬最差的時候；從左邊數來第二個最高峰值的曲線，表達的是盤整時期的機率，報酬率一般，大約有50%；從左邊數來第三個高峰值的曲線，出現機率有38%，代表平均15%的報酬率，最右邊的是市場狂歡時期，出現機率是8%。
一般的蒙地卡羅模擬分布圖往往會忽略極端值的發生機率，使得極端值的發生機率較低，不像上圖最左邊與最右邊有兩個小鐘型，例如常態分布圖，只有一個鐘型，兩側的極端值發生機率不高。
除此之外，即使數學家們可以完整的產生上述的分布曲線，使得報酬率產生的機率接近歷史數據，但是由於報酬率是隨機產生的，所以不能夠準確的讓產生的報酬所出現的順序完全與未來的報酬率一致，所以完全隨機的生成投資組合報酬率，是無法準確的模擬符合未來的投資組合報酬出現的順序。
心得：
使用蒙地卡羅模擬未來的投資組合報酬有三個限制：
- 單一統計模型的報酬率分布與資產組合報酬分布差異很大。
- 無法提供週期性的趨勢。
- 無法提供準確的報酬率出現的順序。
這三個限制使得蒙地卡羅模擬不能準確的預測未來的投資組合報酬率，那麼我們應該如何正確的使用蒙地卡羅模擬呢？讓我們下回分享。
