Portfolio Visualizer 裡面的蒙地卡羅模擬有個名為Forecasted Returns的模型，這是一個利用預期未來報酬來規畫退休金計畫的方式，雖然要準確預測未來報酬不是一件容易的事，但是我們可以透過這個模型了解蒙地卡羅模擬結果，是如何受假設未來的資產報酬、標準差、相關性有什麼影響，更加了解假設對於退休金計畫的影響，今天讓我們來閱讀Wade D. Pfau在2011年發表的一篇文章Capital Market Expectations, Asset Allocation, and Safe Withdrawal Rates，讓我們了解在蒙地卡羅模擬中，預測假設未來的報酬與標準差，是如何影響初始提領率？
首先我們假設一位退休人士，以30年退休期間為目標，投資組合的資產配置有三項，使用股票為美國標普五百，債券為美國政府中期公債，現金部分為美國國庫券，年初從投資組合依據提領率的比例從投資組合中提領，初始提領率為1%-8%，年底時將投資組合重新再平衡，每年隨通膨調整提領率，投資組合用完即表示本次模擬提領過程失敗。
本文使用蒙地卡羅模擬方式，使用對數正態分布執行，必須輸入各項資產的報酬率、標準差與相關係數，每種資產假設都會模擬一萬次，控制失敗機率在10%的情況之下，模擬的初始提領率結果是如何受輸入各項資產的報酬率、標準差所影響，結果如下：
上圖紅色的線是使用歷史數據，統計1926年至2010年的各項資產的報酬率、標準差與相關係數的結果所繪製而成(詳如前文)。
紅色線的中間有個圓圈，這個點表示的是最大提領率4.3%，這裡的報酬率與標準差是由股票45%與債券55%所組成的，換句話說，依據1926年至2010年的歷史數據，30年度的提領期間，蒙地卡羅模擬在10%的失敗機率情況下，投資組合由股票45%與債券55%所組成的情況，將能獲得最大的提領率。
但並不表示，股票45%與債券55%就是最佳的投資組合比例。
我們再看看紅色線中間有粗線的部分，這是表示初始提領率範圍落在4.2%-4.3%的情況，這時候的股票比例範圍可以落在28%-69%，換句話說，減少0.1%的初始提領率，股票範圍從45%，變為28%-69%，我認為如果你能容許0.1%的初始提領率誤差的話。那麼所謂的最佳的投資組合比例並不會是一個固定值，而是一個範圍，這對於規劃資產配置的股債比範圍有很大的幫助，這表明規劃時股債的些微差異，並不會對初始提領率有很大的影響。
我們重新再看看上圖，除了紅色線以外，還有其他8條線，上面標示了1、2、3、4、5、6、7、8，這個字表示的是經過一萬次模擬結果，失敗機率為10%的情況之下，投資組合為該點上報酬率與標準差時，會得到的初始提領率，1表示初始提領率為1%。
這樣就可以觀察預期的報酬與標準差對於初始提領率的影響。
首先，我們看看標準差固定為11%的時候，當報酬率為3%，提領率為3%；當報酬率為5%，提領率為4%；當報酬率為7%，提領率為5%，可以觀察到報酬率越高，提領率越高。
再來，我們看看報酬率固定為5%的時候，當標準差為6%，提領率為5%；當標準差為11%，提領率為4%；當標準差為16%，提領率為3%，可以觀察到標準差越高，提領率越低。
以上的觀察可以發現標準差與報酬率對於初始提領率有抵銷的影響，例如納入高報酬率的資產可能有助於增加初始提領率，但也可能因為標準差過高，而不會增加初始提領率。
如果你再仔細看看這8條線的斜率，這8條線的斜率幾乎一樣，呈現水平狀況，表示在固定10%的失敗機率之下，預期報酬與標準差對於不同的初始提領率影響，敏感度是一致的。(先期提到的是預期報酬與標準差對於不同的失敗機率率影響，敏感度是不一致的，要堅持要較低的模擬失敗機率，當標準差有些微的增加，又或者報酬率有些微的減少，都大幅的增加模擬失敗機率，而較高模擬失敗機率則不會受預期報酬或標準差變化時，影響那麼敏感)
另外，如果退休的期限增加，或者容許較高的失敗機率，想要獲得較高的初始提領率，投資組合須有較高的股票佔比，詳如下表：
例如，看看最下面的倒數第二行，退休期間40年，失敗機率為10%，初始提領率為3.7%，股票比例為58%，在看看退休期間30年，失敗機率為10%，初始提領率為4.3%，股票比例為45%，可以知道股票佔比隨退休期間增長而增加。
至於容許失敗機率增加，觀察上表也會得到與退休的期限增加一樣的結果。
心得：
- 如果你能容許初始提領率在4.2-4.3%的範圍，那麼所謂的最佳的投資組合比例並不會是一個固定值(股票佔比45%)，而是一個範圍(股票佔比28%-69%)，規劃時股債的些微差異，並不會對初始提領率有很大的影響。
- 預期的標準差與報酬率對於提領率有抵銷的影響，但不同提領率對於預期的標準差與報酬率的變化敏感度是一樣的。
- 當退休的期限增加，或者容許較高的失敗機率，想要獲得較高的初始提領率，投資組合須有較高的股票佔比。
